Cálculo Ejemplos

$4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$

Paso 1

Escribe $4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ como una función.

$f (x) = 4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{27}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{27}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 x^{2} - 2 (\frac{27}{2}) x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{27}{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{- 54}{2}$ y $x$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54 x}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 54 x$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$12 x^{2} + \frac{- 27 x}{1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.3.7.2.4

Divide $- 27 x$ por $1$ .

$12 x^{2} - 27 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} - 27 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27 x$ con respecto a $x$ es $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 27$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $24 x - 27$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 27$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$12 x^{2} - 27 x + 8 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- \frac{27}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{27}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 x^{2} - 2 (\frac{27}{2}) x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{27}{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.6

Combina $\frac{- 54}{2}$ y $x$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54 x}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.7

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 5.1.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 54 x$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$12 x^{2} + \frac{- 27 x}{1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.3.7.2.4

Divide $- 27 x$ por $1$ .

$12 x^{2} - 27 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 5.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \cdot 1$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 27 x + 8$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 27 x + 8$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 27 x + 8 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 = 0$

Paso 6.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.3

Sustituye los valores $a = 12$ , $b = - 27$ y $c = 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot 8)}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Eleva $- 27$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 12 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 12 \cdot 8$ .

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Paso 6.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 48 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.4.1.2.2

Multiplica $- 48$ por $8$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 384}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.4.1.3

Resta $384$ de $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.4.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{24}$

Paso 6.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1.1

Eleva $- 27$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 12 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 12 \cdot 8$ .

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Paso 6.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 48 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.5.1.2.2

Multiplica $- 48$ por $8$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 384}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.5.1.3

Resta $384$ de $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.5.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{24}$

Paso 6.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1.1

Eleva $- 27$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 12 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 12 \cdot 8$ .

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Paso 6.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 48 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.6.1.2.2

Multiplica $- 48$ por $8$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 384}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.6.1.3

Resta $384$ de $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{2 \cdot 12}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{24}$

Paso 6.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$

Paso 6.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}, \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}, \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$24 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) - 27$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común.

$24 \frac{27 + \sqrt{345}}{24} - 27$

Paso 10.1.2

Reescribe la expresión.

$27 + \sqrt{345} - 27$

Paso 10.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 10.2.1

Resta $27$ de $27$ .

$0 + \sqrt{345}$

Paso 10.2.2

Suma $0$ y $\sqrt{345}$ .

$\sqrt{345}$

Paso 11

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ en la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{3} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{24^{3}}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.2

Eleva $24$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{13824}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $13824$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{4 (3456)}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{4 \cdot 3456}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.4

Usa el teorema del binomio.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{27^{3} + 3 \cdot (27^{2} \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.5.1

Eleva $27$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (27^{2} \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.2

Eleva $27$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (729 \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.3

Multiplica $3$ por $729$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.4

Multiplica $3$ por $27$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 {\sqrt{345}}^{2} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.5

Reescribe ${\sqrt{345}}^{2}$ como $345$ .

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Paso 12.2.1.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{345}$ como $345^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 {(345^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.5.5.4.1

Cancela el factor común.

Paso 12.2.1.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.6

Multiplica $81$ por $345$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.7

Reescribe ${\sqrt{345}}^{3}$ como $\sqrt{345^{3}}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{345^{3}}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.8

Eleva $345$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{41063625}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.9

Reescribe $41063625$ como $345^{2} \cdot 345$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.5.9.1

Factoriza $119025$ de $41063625$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{119025 (345)}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.9.2

Reescribe $119025$ como $345^{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{345^{2} \cdot 345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.5.10

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.6

Suma $19683$ y $27945$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 + 2187 \sqrt{345} + 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.7

Suma $2187 \sqrt{345}$ y $345 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 + 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.8

Cancela el factor común de $47628 + 2532 \sqrt{345}$ y $3456$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.8.1

Factoriza $12$ de $47628$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) + 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.8.2

Factoriza $12$ de $2532 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) + 12 (211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.8.3

Factoriza $12$ de $12 (3969) + 12 (211 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 + 211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.8.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.8.4.1

Factoriza $12$ de $3456$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 + 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.8.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 + 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{24^{2}} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.10

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.11

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 12.2.1.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{2}$ al numerador.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 27}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.11.2

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 (- 3)}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.11.3

Factoriza $9$ de $576$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.11.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.12

Multiplica $\frac{- 3}{2}$ por $\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{64}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 + \sqrt{345})}^{2}}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.13

Multiplica $2$ por $64$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 + \sqrt{345})}^{2}}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.14

Reescribe ${(27 + \sqrt{345})}^{2}$ como $(27 + \sqrt{345}) (27 + \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 ((27 + \sqrt{345}) (27 + \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.15

Expande $(27 + \sqrt{345}) (27 + \sqrt{345})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.2.1.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 (27 + \sqrt{345}) + \sqrt{345} (27 + \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} (27 + \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.15.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \cdot 27 + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 12.2.1.16.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.16.1.1

Multiplica $27$ por $27$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \cdot 27 + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.1.2

Mueve $27$ a la izquierda de $\sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \cdot \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345 \cdot 345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.1.4

Multiplica $345$ por $345$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + \sqrt{119025})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.1.5

Reescribe $119025$ como $345^{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345^{2}})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + 345)}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.2

Suma $729$ y $345$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.16.3

Suma $27 \sqrt{345}$ y $27 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 + 54 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.17

Cancela el factor común de $1074 + 54 \sqrt{345}$ y $128$ .

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Paso 12.2.1.17.1

Factoriza $2$ de $- 3 (1074 + 54 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 + 27 \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.17.2.1

Factoriza $2$ de $128$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 + 27 \sqrt{345}))}{2 (64)} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.17.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 + 27 \sqrt{345}))}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.17.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Paso 12.2.1.19

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 12.2.1.19.1

Factoriza $8$ de $24$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{8 (3)})$

Paso 12.2.1.19.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{8 \cdot 3})$

Paso 12.2.1.19.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Paso 12.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 12.2.2.1

Multiplica $\frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Paso 12.2.2.2

Multiplica $\frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Paso 12.2.2.3

Multiplica $\frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - (\frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} \cdot \frac{9}{9}) + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Paso 12.2.2.4

Multiplica $\frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Paso 12.2.2.5

Multiplica $\frac{27 + \sqrt{345}}{3}$ por $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3} \cdot \frac{192}{192}$

Paso 12.2.2.6

Multiplica $\frac{27 + \sqrt{345}}{3}$ por $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 12.2.2.7

Reordena los factores de $288 \cdot 2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{2 \cdot 288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 12.2.2.8

Multiplica $2$ por $288$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 12.2.2.9

Reordena los factores de $64 \cdot 9$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 12.2.2.10

Multiplica $9$ por $64$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 12.2.2.11

Multiplica $3$ por $192$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2 - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 \cdot 2 + 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $3969$ por $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.3

Multiplica $2$ por $211$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} + (- 3 \cdot 537 - 3 (27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.5

Multiplica $- 3$ por $537$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} + (- 1611 - 3 (27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.6

Multiplica $27$ por $- 3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} + (- 1611 - 81 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 1611 \cdot 9 - 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.8

Multiplica $- 1611$ por $9$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.9

Multiplica $9$ por $- 81$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + 27 \cdot 192 + \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.11

Multiplica $27$ por $192$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + 5184 + \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Paso 12.2.4.12

Mueve $192$ a la izquierda de $\sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + 5184 + 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.5

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.5.1

Resta $14499$ de $7938$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 6561 + 422 \sqrt{345} - 729 \sqrt{345} + 5184 + 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.5.2

Suma $- 6561$ y $5184$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 + 422 \sqrt{345} - 729 \sqrt{345} + 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.5.3

Resta $729 \sqrt{345}$ de $422 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 - 307 \sqrt{345} + 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.5.4

Suma $- 307 \sqrt{345}$ y $192 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.5.5

Reescribe $- 1377$ como $- 1 (1377)$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 115 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 - (115 \sqrt{345})}{576}$

Paso 12.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1377) - (115 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 (1377 + 115 \sqrt{345})}{576}$

Paso 12.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = - \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 12.2.6

La respuesta final es $- \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$ .

$y = - \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$24 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) - 27$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 14.1.1

Cancela el factor común.

$24 \frac{27 - \sqrt{345}}{24} - 27$

Paso 14.1.2

Reescribe la expresión.

$27 - \sqrt{345} - 27$

Paso 14.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 14.2.1

Resta $27$ de $27$ .

$0 - \sqrt{345}$

Paso 14.2.2

Resta $\sqrt{345}$ de $0$ .

$- \sqrt{345}$

Paso 15

$x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ en la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{3} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{24^{3}}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.2

Eleva $24$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{13824}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 16.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $13824$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{4 (3456)}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{4 \cdot 3456}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.4

Usa el teorema del binomio.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{27^{3} + 3 \cdot (27^{2} (- \sqrt{345})) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.5.1

Eleva $27$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (27^{2} (- \sqrt{345})) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.2

Eleva $27$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (729 (- \sqrt{345})) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.3

Multiplica $3$ por $729$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 (- \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $2187$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.5

Multiplica $3$ por $27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 {(- \sqrt{345})}^{2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{345}}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 (1 {\sqrt{345}}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.8

Multiplica ${\sqrt{345}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 {\sqrt{345}}^{2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.9

Reescribe ${\sqrt{345}}^{2}$ como $345$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.5.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{345}$ como $345^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 {(345^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.2.1.5.9.4.1

Cancela el factor común.

Paso 16.2.1.5.9.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.9.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.10

Multiplica $81$ por $345$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.11

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.13

Reescribe ${\sqrt{345}}^{3}$ como $\sqrt{345^{3}}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{345^{3}}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.14

Eleva $345$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{41063625}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.15

Reescribe $41063625$ como $345^{2} \cdot 345$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.5.15.1

Factoriza $119025$ de $41063625$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{119025 (345)}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.15.2

Reescribe $119025$ como $345^{2}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{345^{2} \cdot 345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.16

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - (345 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.5.17

Multiplica $345$ por $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.6

Suma $19683$ y $27945$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 - 2187 \sqrt{345} - 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.7

Resta $345 \sqrt{345}$ de $- 2187 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 - 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.8

Cancela el factor común de $47628 - 2532 \sqrt{345}$ y $3456$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.8.1

Factoriza $12$ de $47628$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) - 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.8.2

Factoriza $12$ de $- 2532 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) + 12 (- 211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.8.3

Factoriza $12$ de $12 (3969) + 12 (- 211 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 - 211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.8.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.8.4.1

Factoriza $12$ de $3456$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 - 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.8.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 - 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{24^{2}} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.10

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.11

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 16.2.1.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{2}$ al numerador.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 27}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.11.2

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 (- 3)}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.11.3

Factoriza $9$ de $576$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.11.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.12

Multiplica $\frac{- 3}{2}$ por $\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{64}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 - \sqrt{345})}^{2}}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.13

Multiplica $2$ por $64$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 - \sqrt{345})}^{2}}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.14

Reescribe ${(27 - \sqrt{345})}^{2}$ como $(27 - \sqrt{345}) (27 - \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 ((27 - \sqrt{345}) (27 - \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.15

Expande $(27 - \sqrt{345}) (27 - \sqrt{345})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 16.2.1.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 (27 - \sqrt{345}) - \sqrt{345} (27 - \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 (- \sqrt{345}) - \sqrt{345} (27 - \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.15.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 (- \sqrt{345}) - \sqrt{345} \cdot 27 - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 16.2.1.16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.16.1.1

Multiplica $27$ por $27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 (- \sqrt{345}) - \sqrt{345} \cdot 27 - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.2

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - \sqrt{345} \cdot 27 - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.3

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.4

Multiplica $- \sqrt{345} (- \sqrt{345})$ .

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Paso 16.2.1.16.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 1 \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.4.2

Multiplica $\sqrt{345}$ por $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.4.3

Eleva $\sqrt{345}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.4.4

Eleva $\sqrt{345}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + {\sqrt{345}}^{1 + 1})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + {\sqrt{345}}^{2})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.5

Reescribe ${\sqrt{345}}^{2}$ como $345$ .

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Paso 16.2.1.16.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{345}$ como $345^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + {(345^{\frac{1}{2}})}^{2})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345^{\frac{2}{2}})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.2.1.16.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345^{\frac{2}{2}})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345)}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345)}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.2

Suma $729$ y $345$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.16.3

Resta $27 \sqrt{345}$ de $- 27 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 - 54 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.17

Cancela el factor común de $1074 - 54 \sqrt{345}$ y $128$ .

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Paso 16.2.1.17.1

Factoriza $2$ de $- 3 (1074 - 54 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 - 27 \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.2.1.17.2.1

Factoriza $2$ de $128$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 - 27 \sqrt{345}))}{2 (64)} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.17.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 - 27 \sqrt{345}))}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.17.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Paso 16.2.1.19

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 16.2.1.19.1

Factoriza $8$ de $24$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{8 (3)})$

Paso 16.2.1.19.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{8 \cdot 3})$

Paso 16.2.1.19.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Paso 16.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 16.2.2.1

Multiplica $\frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Paso 16.2.2.2

Multiplica $\frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Paso 16.2.2.3

Multiplica $\frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - (\frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} \cdot \frac{9}{9}) + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Paso 16.2.2.4

Multiplica $\frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Paso 16.2.2.5

Multiplica $\frac{27 - \sqrt{345}}{3}$ por $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3} \cdot \frac{192}{192}$

Paso 16.2.2.6

Multiplica $\frac{27 - \sqrt{345}}{3}$ por $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 16.2.2.7

Reordena los factores de $288 \cdot 2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{2 \cdot 288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 16.2.2.8

Multiplica $2$ por $288$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 16.2.2.9

Reordena los factores de $64 \cdot 9$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 16.2.2.10

Multiplica $9$ por $64$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Paso 16.2.2.11

Multiplica $3$ por $192$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2 - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 \cdot 2 - 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.2

Multiplica $3969$ por $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.3

Multiplica $2$ por $- 211$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} + (- 3 \cdot 537 - 3 (- 27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.5

Multiplica $- 3$ por $537$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} + (- 1611 - 3 (- 27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.6

Multiplica $- 27$ por $- 3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} + (- 1611 + 81 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 1611 \cdot 9 + 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.8

Multiplica $- 1611$ por $9$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.9

Multiplica $9$ por $81$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + 27 \cdot 192 - \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.11

Multiplica $27$ por $192$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + 5184 - \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Paso 16.2.4.12

Multiplica $192$ por $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + 5184 - 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 16.2.5.1

Resta $14499$ de $7938$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 6561 - 422 \sqrt{345} + 729 \sqrt{345} + 5184 - 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.5.2

Suma $- 6561$ y $5184$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 - 422 \sqrt{345} + 729 \sqrt{345} - 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.5.3

Suma $- 422 \sqrt{345}$ y $729 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 + 307 \sqrt{345} - 192 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.5.4

Resta $192 \sqrt{345}$ de $307 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.5.5

Reescribe $- 1377$ como $- 1 (1377)$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $115 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 - (- 115 \sqrt{345})}{576}$

Paso 16.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1377) - (- 115 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 (1377 - 115 \sqrt{345})}{576}$

Paso 16.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = - \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 16.2.6

La respuesta final es $- \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$ .

$y = - \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ .

$(\frac{27 + \sqrt{345}}{24}, - \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576})$ es un mínimo local

$(\frac{27 - \sqrt{345}}{24}, - \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576})$ es un máximo local

Paso 18