Cálculo Ejemplos

$4 x - 64 x^{- 3}$

Paso 1

Escribe $4 x - 64 x^{- 3}$ como una función.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 64 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 3$ por $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$192 x^{- 4} + 4$

Paso 2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

Paso 2.4.2.2

Combina $192$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{192}{x^{4}} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $192$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{192}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 4$ por $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 768$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

Paso 3.4.2.3

Suma $- \frac{768}{x^{5}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

Paso 5

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 6

No hay extremos locales

Paso 7