Cálculo Ejemplos

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 1.1.2

Como $375$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $375$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $0.75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Paso 1.2.6.2

Resta $4$ de $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Paso 1.2.9

Combina $0.75$ y $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Paso 1.2.10

Multiplica $3$ por $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Paso 1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Suma $0$ y $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 1.3.2

Factoriza $2.25$ de $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 1.3.3

Factoriza $4$ de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Paso 1.3.4

Separa las fracciones.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 1.3.5

Divide $2.25$ por $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 1.3.6

Combina $0.5625$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $0.5625$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ con respecto a $x$ es $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Paso 2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Paso 2.7.2

Resta $4$ de $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Paso 2.9

Combina $x^{- \frac{5}{4}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Paso 2.10

Multiplica $- 1$ por $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Paso 2.11

Combina $- 0.5625$ y $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Mueve $x^{- \frac{5}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Paso 2.12.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.1.1.2

Como $375$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $375$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $0.75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $4$ de $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Paso 4.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Paso 4.1.2.8

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Paso 4.1.2.9

Combina $0.75$ y $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $3$ por $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Paso 4.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Suma $0$ y $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $2.25$ de $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Paso 4.1.3.4

Separa las fracciones.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4.1.3.5

Divide $2.25$ por $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4.1.3.6

Combina $0.5625$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $C (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$0.5625 = 0$

Paso 5.3

Como $0.5625 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{4}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 6.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{0.5625}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11