Cálculo Ejemplos

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 \cos (t)$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

Paso 1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 \sin (t)$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 \cos (2 t)$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Paso 4.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Paso 5

Factoriza $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Paso 5.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Paso 5.1.3

Factoriza $2$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Paso 5.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Paso 5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ .

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Paso 5.2

Factoriza.

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Paso 5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1.1

Reordena los términos.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Paso 5.2.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 5.2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (t)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Paso 5.2.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

Paso 5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Paso 5.2.1.2.4

Multiplica $\sin (t)$ por $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Paso 5.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 \sin (t) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

Paso 7

Establece $- 2 \sin (t) + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 7.1

Establece $- 2 \sin (t) + 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ en $t$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (t) = - 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (t) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (t) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $\sin (t)$ por $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 7.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Paso 7.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$t = π - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 7.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 7.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Paso 7.2.7

La solución a la ecuación $t = \frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 8

Establece $\sin (t) + 1$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 8.1

Establece $\sin (t) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (t) + 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $\sin (t) + 1 = 0$ en $t$ .

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Paso 8.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (t) = - 1$

Paso 8.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior de seno.

$t = \arcsin (- 1)$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 8.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 8.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 8.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Paso 8.2.6

La solución a la ecuación $t = - \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ verdadera.

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $t = \frac{π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 11.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 11.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 11.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 11.1.3

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 11.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Paso 11.1.4.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 11.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 11.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.1.6.2

Cancela el factor común.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.1.6.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Paso 11.2

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Paso 12

$t = \frac{π}{6}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$t = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $t = \frac{π}{6}$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $t$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 13.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 13.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 13.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Paso 13.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Paso 13.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Paso 13.2.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.2.2

Para escribir $\sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.2.3

Combina fracciones.

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Paso 13.2.3.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 13.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Paso 13.2.4.2

Suma $2 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 13.2.5

La respuesta final es $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $t = \frac{5 π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.3.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.5

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 15.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Paso 15.1.6.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Paso 15.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 15.1.7

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 15.1.8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 15.1.9

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.1.9.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.1.9.3

Cancela el factor común.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 15.1.9.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Paso 15.1.10

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 15.2

Suma $\sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Paso 16

$t = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$t = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 17

Obtén el valor de y cuando $t = \frac{5 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reemplaza la variable $t$ con $\frac{5 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 17.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 17.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 17.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 17.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 17.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 17.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Paso 17.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Paso 17.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Paso 17.2.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.2

Para escribir $- \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.3.1

Combina $- \sqrt{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.4.2

Resta $\sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.2.6

La respuesta final es $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada en $t = - \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 19

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 19.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 19.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 19.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 19.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Paso 19.1.5.2

Cancela el factor común.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Paso 19.1.5.3

Reescribe la expresión.

$0 - 4 \sin (- π)$

Paso 19.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$0 - 4 \sin (0)$

Paso 19.1.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Paso 19.1.8

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 19.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 20

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 20.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $t$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Paso 20.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ en la primera derivada $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 20.2.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Paso 20.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.2.1.1

Evalúa $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Paso 20.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Paso 20.2.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Paso 20.2.2.1.4

Evalúa $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Paso 20.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Paso 20.2.2.2

Resta $0.29100006$ de $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Paso 20.2.2.3

La respuesta final es $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Paso 20.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ en la primera derivada $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 20.3.1

Reemplaza la variable $t$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Paso 20.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.3.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Paso 20.3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Paso 20.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Paso 20.3.2.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Paso 20.3.2.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Paso 20.3.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f' (0) = 2$

Paso 20.3.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 20.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ en la primera derivada $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 20.4.1

Reemplaza la variable $t$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Paso 20.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.4.2.1.1

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Paso 20.4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Paso 20.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Paso 20.4.2.1.4

Evalúa $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Paso 20.4.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Paso 20.4.2.2

Resta $1.30728724$ de $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Paso 20.4.2.3

La respuesta final es $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Paso 20.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ en la primera derivada $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 20.5.1

Reemplaza la variable $t$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Paso 20.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.5.2.1.1

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Paso 20.5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Paso 20.5.2.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Paso 20.5.2.1.4

Evalúa $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Paso 20.5.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Paso 20.5.2.2

Resta $0.29100006$ de $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Paso 20.5.2.3

La respuesta final es $1.22260492$ .

$1.22260492$

Paso 20.6

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ en la primera derivada $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 20.6.1

Reemplaza la variable $t$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Paso 20.6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.6.2.1.1

Evalúa $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Paso 20.6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Paso 20.6.2.1.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Paso 20.6.2.1.4

Evalúa $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Paso 20.6.2.1.5

Multiplica $2$ por $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Paso 20.6.2.2

Suma $- 1.31397319$ y $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Paso 20.6.2.3

La respuesta final es $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Paso 20.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $t = - \frac{π}{2}$ , $t = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local.

$t = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 20.8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $t = \frac{π}{6}$ , $t = \frac{π}{6}$ es un máximo local.

$t = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 20.9

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $t = \frac{5 π}{6}$ , $t = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local.

$t = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 20.10

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $t = \frac{3 π}{2}$ , $t = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local.

$t = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 20.11

Estos son los extremos locales de $f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ .

$t = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$t = \frac{π}{6}$ es un máximo local

$t = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

$t = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

$t = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$t = \frac{π}{6}$ es un máximo local

$t = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

$t = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 21