Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ como ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.12

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.13

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

Paso 2.14

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ .

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.2

Multiplica $2 x + 4$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.4

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.5

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.15.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.15.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + 4 x + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + 4 x + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.10

Combina fracciones.

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Paso 3.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.10.3

Mueve ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.13

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.15

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.16

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + 0))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.17

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.18.2.1

Sea $u_{2} = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.18.2.1.1

Eleva $u_{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.1.2

Eleva $u_{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = u_{2}$ y $b = x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - (x + 2))}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.1.6

Simplifica.

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Paso 3.18.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 1 \cdot 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3

Simplifica.

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Paso 3.18.2.3.1

Expande $({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.2

Combina los términos opuestos en ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.18.2.3.2.1

Reordena los factores en los términos ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ y $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.2.2

Suma $- x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ y $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + 0 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.2.3

Suma ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.2.4

Reordena los factores en los términos ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ y $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.2.5

Suma $- 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ y $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 0 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.2.6

Suma ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.18.2.3.3.1

Multiplica ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.18.2.3.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.1.3

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.1.4

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 4 x + 8) + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.2

Simplifica ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.18.2.3.3.4.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 \cdot x + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4$ .

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Paso 3.18.2.3.4.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 + 0 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.4.2

Suma $4 x + 8$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.5

Resta $2 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x + 8 - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.6

Combina los términos opuestos en $2 x + 8 - 2 x - 4$ .

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Paso 3.18.2.3.6.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.6.2

Suma $0$ y $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.2.3.7

Resta $4$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.3

Combina los términos.

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Paso 3.18.3.1

Reescribe $\frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$

Paso 3.18.3.2

Multiplica $\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

Paso 3.18.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 4 x + 8$ sumando los exponentes.

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Paso 3.18.3.3.1

Multiplica ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 4 x + 8$ .

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Paso 3.18.3.3.1.1

Eleva $x^{2} + 4 x + 8$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

Paso 3.18.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 3.18.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 3.18.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 3.18.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ como ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.7

Combina fracciones.

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Paso 5.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Paso 5.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 5.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 5.1.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 5.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 5.1.12

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 5.1.13

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

Paso 5.1.14

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

Paso 5.1.15

Simplifica.

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Paso 5.1.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ .

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.2

Multiplica $2 x + 4$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.4

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.5

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.15.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 5.1.15.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.15.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$x + 2 = 0$

Paso 6.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{{({(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{{(4 + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{4}{{(4 - 8 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{4}{{(- 4 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.3

Suma $- 4$ y $8$ .

$\frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 10.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 10.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{2^{3}}$

Paso 10.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{8}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 11

$x = - 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 2$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 + 4 (- 2) + 8}$

Paso 12.2.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 - 8 + 8}$

Paso 12.2.3

Resta $8$ de $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 8}$

Paso 12.2.4

Suma $- 4$ y $8$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Paso 12.2.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Paso 12.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2) = 2$

Paso 12.2.7

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ .

$(- 2, 2)$ es un mínimo local

Paso 14