Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{x}$

Paso 1

Escribe $x^{2} e^{x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Paso 3.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Paso 3.4.2

Suma $e^{x} (2 x)$ y $2 x e^{x}$ .

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Paso 3.4.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3.4.2.2

Suma $2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 3.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 5.1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Paso 6.2

Factoriza $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $x e^{x}$ de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 6.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.5.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 6.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x e^{x} (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 10.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 10.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 10.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Paso 10.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Paso 10.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Paso 10.1.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Paso 10.1.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Paso 10.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 10.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 2$

Paso 10.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 11

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Paso 12.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Paso 12.2.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.3

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.4

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.6

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Paso 14.1.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Paso 14.1.9

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Paso 14.2

Combina fracciones.

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Paso 14.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Paso 14.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 14.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Paso 14.2.2.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Paso 14.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Paso 15

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Paso 16.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Paso 16.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ es un máximo local

Paso 18