Cálculo Ejemplos

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Paso 1

Escribe $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64 x$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $96$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $96 x$ con respecto a $x$ es $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.4.3

Multiplica $96$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Paso 3.5.2

Suma $12 x^{2} - 72 x + 96$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Paso 5.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Paso 5.1.4.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64 x$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Paso 6.2.1.2

Factoriza $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza $4$ de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Paso 6.2.1.4

Factoriza $4$ de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Paso 6.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Paso 6.2.1.6

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Paso 6.2.1.7

Factoriza $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 6.2.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 6.2.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Paso 6.2.2.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 6.2.2.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 6.2.2.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 6.2.2.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 6.2.2.3.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 6.2.2.3.5

Resta $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Paso 6.2.2.3.6

Multiplica $24$ por $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Paso 6.2.2.3.7

Suma $- 8$ y $24$ .

$16 - 16$

Paso 6.2.2.3.8

Resta $16$ de $16$ .

$0$

Paso 6.2.2.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Paso 6.2.2.5

Divide $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ por $x - 1$ .

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Paso 6.2.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Paso 6.2.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Paso 6.2.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 6.2.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 6.2.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 6.2.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 6.2.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 6.2.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 6.2.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 6.2.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Paso 6.2.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Paso 6.2.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Paso 6.2.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Paso 6.2.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Paso 6.2.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Paso 6.2.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Paso 6.2.2.6

Escribe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ como un conjunto de factores.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza.

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Paso 6.2.3.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.2.3.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Paso 6.2.3.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Paso 6.2.3.1.3

Reescribe el polinomio.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 6.2.3.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Paso 6.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 6.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.5

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.5.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 1, 4$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1, 4$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Paso 10.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 72$ por $1$ .

$12 - 72 + 96$

Paso 10.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.2.1

Resta $72$ de $12$ .

$- 60 + 96$

Paso 10.2.2

Suma $- 60$ y $96$ .

$36$

Paso 11

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Paso 12.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Paso 12.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Paso 12.2.1.5

Multiplica $48$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Paso 12.2.1.6

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Paso 12.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 12.2.2.1

Resta $12$ de $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Paso 12.2.2.2

Suma $- 11$ y $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Paso 12.2.2.3

Resta $64$ de $37$ .

$f (1) = - 27$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $- 27$ .

$y = - 27$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Paso 14.1.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Paso 14.1.3

Multiplica $- 72$ por $4$ .

$192 - 288 + 96$

Paso 14.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.2.1

Resta $288$ de $192$ .

$- 96 + 96$

Paso 14.2.2

Suma $- 96$ y $96$ .

$0$

Paso 15

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 15.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 15.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 1)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Paso 15.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Paso 15.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Paso 15.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Paso 15.2.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Paso 15.2.2.1.5

Multiplica $96$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Paso 15.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 15.2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Paso 15.2.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Paso 15.2.2.2.3

Resta $64$ de $0$ .

$f' (0) = - 64$

Paso 15.2.2.3

La respuesta final es $- 64$ .

$- 64$

Paso 15.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(1, 4)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Paso 15.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Paso 15.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Paso 15.3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Paso 15.3.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Paso 15.3.2.1.5

Multiplica $96$ por $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Paso 15.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 15.3.2.2.1

Resta $144$ de $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Paso 15.3.2.2.2

Suma $- 112$ y $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Paso 15.3.2.2.3

Resta $64$ de $80$ .

$f' (2) = 16$

Paso 15.3.2.3

La respuesta final es $16$ .

$16$

Paso 15.4

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(4, \infty)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Paso 15.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.4.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Paso 15.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Paso 15.4.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Paso 15.4.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Paso 15.4.2.1.5

Multiplica $96$ por $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Paso 15.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 15.4.2.2.1

Resta $1296$ de $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Paso 15.4.2.2.2

Suma $- 432$ y $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Paso 15.4.2.2.3

Resta $64$ de $144$ .

$f' (6) = 80$

Paso 15.4.2.3

La respuesta final es $80$ .

$80$

Paso 15.5

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un mínimo local.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 15.6

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 4$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 15.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 16