Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 2 x) e^{x}$

Paso 1

Escribe $(x^{2} - 2 x) e^{x}$ como una función.

$f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 2.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Paso 2.4.3.2

Suma $- 2 x e^{x}$ y $e^{x} (2 x)$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 2.4.3.2.2

Suma $- 2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Paso 2.4.3.3

Suma $x^{2} e^{x}$ y $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 e^{x}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$

Paso 3.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 2 x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 5.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Paso 5.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Paso 5.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Paso 5.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 5.1.4.3.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Paso 5.1.4.3.2

Suma $- 2 x e^{x}$ y $e^{x} (2 x)$ .

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Paso 5.1.4.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 5.1.4.3.2.2

Suma $- 2 x e^{x}$ y $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Paso 5.1.4.3.3

Suma $x^{2} e^{x}$ y $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 5.1.4.4

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Paso 5.1.4.5

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Paso 6.2

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2 = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2$ .

$e^{x} (x^{2} - 2) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 6.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 6.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 6.5

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 6.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 6.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 6.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 6.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 10.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10.1.5

Evalúa el exponente.

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 10.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 10.2.1

Resta $2 e^{\sqrt{2}}$ de $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Paso 10.2.2

Suma $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ y $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Paso 11

$x = \sqrt{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = ({(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 12.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.4.5

Evalúa el exponente.

$2 e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 14.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 14.2.1

Resta $2 e^{- \sqrt{2}}$ de $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Paso 14.2.2

Suma $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ y $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Paso 15

$x = - \sqrt{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \sqrt{2}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = ({(- \sqrt{2})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (1 {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 16.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}})$ es un mínimo local

$(- \sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}})$ es un máximo local

Paso 18