Cálculo Ejemplos

$V (t) = 45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$ .

$\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})]$ .

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Paso 2.1

Como $45$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $45 (1 - e^{- 1.6 t})$ con respecto a $t$ es $45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}]$ .

$45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}] + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{- 1.6 t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]$ .

$45 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$45 (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- e^{- 1.6 t}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]$ .

$45 (0 - \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - 1.6 t$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 1.6 t$ .

$45 (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$45 (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 1.6 t$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.6

Como $- 1.6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1.6 t$ con respecto a $t$ es $- 1.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1.6$ por $1$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \cdot - 1.6)) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.9

Mueve $- 1.6$ a la izquierda de $e^{- 1.6 t}$ .

$45 (0 - (- 1.6 \cdot e^{- 1.6 t})) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.10

Multiplica $- 1.6$ por $- 1$ .

$45 (0 + 1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.11

Suma $0$ y $1.6 e^{- 1.6 t}$ .

$45 (1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 2.12

Multiplica $1.6$ por $45$ .

$72 e^{- 1.6 t} + \frac{d}{d t} [31]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $31$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $31$ con respecto a $t$ es $0$ .

$72 e^{- 1.6 t} + 0$

Paso 3.2

Suma $72 e^{- 1.6 t}$ y $0$ .

$72 e^{- 1.6 t}$