Cálculo Ejemplos

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x^{2} + b x + c$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x^{2}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b x$ con respecto a $x$ es $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $b$ por $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.4

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 a x + b + 0$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Suma $2 a x + b$ y $0$ .

$2 a x + b$

Paso 1.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (x) = b + 2 a x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $b + 2 a x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Paso 2.2

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$2 a x = - b$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 a x = - b$ por $2 a$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 a x = - b$ por $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $a x^{2} + b x + c$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{b}{2 a}$ por $x$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Factoriza $a$ de ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.3.2

Factoriza $a$ de $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.4

Combina ${(- 1)}^{2}$ y $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.5.2

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Paso 4.1.2.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Paso 4.1.2.1.8

Multiplica $- b \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1.2.1.8.1

Combina $\frac{b}{2 a}$ y $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Paso 4.1.2.1.8.2

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Paso 4.1.2.1.8.3

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Paso 4.1.2.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Paso 4.1.2.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- \frac{b^{2}}{2 a}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4 a$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{b^{2}}{2 a}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1.1

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.1.2.5.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5.1.1.2

Factoriza $b^{2}$ de $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5.1.1.3

Factoriza $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5.1.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Paso 4.1.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Paso 5