Cálculo Ejemplos

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.5

Multiplica.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.5.2

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 3.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Paso 3.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Combina los términos.

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Paso 3.5.1.1

Combina $2$ y $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Paso 3.5.1.2

Combina $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Divide cada término en $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.2.1

Combinar.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

Paso 5.3.3.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

Paso 5.3.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

Paso 5.3.3.4

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

Paso 5.3.4

Reordena los factores en $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$