Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2.5.2

Resta $7$ de $6$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{8}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

Paso 2.3.6.2

Resta $5$ de $8$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{8}{5}$ y $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ y $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{6}{7}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Paso 3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reordena los factores en $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

Paso 5.2

Resta $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 5.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Simplifica $\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1.1

Combinar.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 5.4.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 5.4.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 5.4.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 5.4.1.1.5

Divide $y' y^{\frac{3}{5}}$ por $1$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Simplifica $\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ al numerador.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.4.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.4.2.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.4.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.4.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Paso 5.4.2.1.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.3.1

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.4.2.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ por $y^{\frac{3}{5}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ por $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Paso 5.5.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

Paso 5.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ por $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

Paso 5.5.3.3

Mueve $28$ a la izquierda de $y^{\frac{3}{5}}$ .

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$