Cálculo Ejemplos

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Paso 1

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Paso 3

Sea $u = \frac{1}{3} x$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \frac{1}{3} x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Paso 3.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Paso 4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 6.3

Multiplica $\int \csc^{2} (u) d u$ por $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Paso 7

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Paso 9

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$