Cálculo Ejemplos

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x$

Paso 1

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{x^{3}}{3} d x + \int - x^{2} d x + \int - 3 x d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int - 3 x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{2} d x + \int - 3 x d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{2} d x + \int - 3 x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 x d x$

Paso 7

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 \int x d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} - 3 \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 9.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + C$

Paso 9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Paso 11

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$