Cálculo Ejemplos

$f' (x) = 1 + 3 \sqrt{x}$

Paso 1

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int 3 \sqrt{x} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int 3 \sqrt{x} d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x + C + 3 \int \sqrt{x} d x$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + C + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x + C + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica.

$x + 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x + \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x + \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$