Cálculo Ejemplos

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

Paso 1

La función $f' (t)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f'' (t)$ .

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 3.2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Reescribe $3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ como $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ .

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6

La función $f'$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

La función $f (t)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (t)$ .

$f (t) = \int f' (t) d t$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Paso 9

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

Paso 12.2

Simplifica.

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

Paso 13

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$