Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{5} - x^{3} + 2 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Paso 4.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Paso 4.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

Paso 6

Expande $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.4

Resta $3$ de $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.5

Simplifica.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.6

Factoriza el negativo.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 6.8

Resta $3$ de $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Paso 10

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Paso 13.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 13.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Paso 13.3.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 13.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Paso 13.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Paso 13.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Paso 13.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Paso 13.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$