Cálculo Ejemplos

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Escribe ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como una función.

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$