Cálculo Ejemplos

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1

La función $R (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} + 27000$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} + 27000$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27000$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Paso 3.1.4

Como $27000$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27000$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $u^{- \frac{2}{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 6.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 6.1.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 6.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $u^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Paso 6.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $u$ es $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ como $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 10

La función $R$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$