Cálculo Ejemplos

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Paso 1

La función $s (t)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Paso 2

Sea $u = t - 1$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = t - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Paso 3

Expande $(u + 1) u^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 3.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Paso 3.4

Suma $1$ y $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Paso 3.5

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Paso 9

La función $s$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$