Cálculo Ejemplos

$\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 6.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 6.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 6.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 8

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 9

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$4 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 11.2.3.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.3.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{3}{5}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.5

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$