Cálculo Ejemplos

$\sqrt{1 + x}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{1 + x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{1 + x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{1 + x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$