Cálculo Ejemplos

$e^{- \frac{x}{2}}$

Paso 1

Escribe $e^{- \frac{x}{2}}$ como una función.

$f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{- \frac{x}{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = - \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{2} d x$ , de modo que $- 2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Paso 4.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$- 2 e^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$