Cálculo Ejemplos

$\cos^{3} (x)$

Paso 1

Escribe $\cos^{3} (x)$ como una función.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

Paso 4

Factoriza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Paso 6

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u + C - \int u^{2} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 11

Simplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$