Cálculo Ejemplos

$\arctan (\frac{x}{2})$

Paso 1

Escribe $\arctan (\frac{x}{2})$ como una función.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (\frac{x}{2})$ y $d v = 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $x$ y $\frac{2}{x^{2} + 4}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

Paso 7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Paso 8

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 8.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 8.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

Paso 13

Reescribe $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ como $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$