Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$