Cálculo Ejemplos

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Paso 1

Escribe $4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ como una función.

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Paso 5

Sea $u = 3 x^{4} + 3$ . Entonces $d u = 12 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 x^{4} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$12 x^{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Paso 6

Combina $u^{9}$ y $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$