Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x - 1}{4 x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x - 1$ y $g (x) = 4 x + 1$ .

$\frac{(4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(4 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $4 x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 + \frac{d}{d x} [1])}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) (4 + 0)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - (4 x - 1) \cdot 4}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 1) - 4 (4 x - 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x - 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $4 (4 x) + 4 \cdot 1 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Resta $4 (4 x)$ de $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Suma $4 \cdot 1$ y $0$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 - 4 \cdot - 1}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{4 + 4}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{8}{{(4 x + 1)}^{2}}$