Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{5}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 17 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.4

Factoriza $x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2})$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.6

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x)$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

Paso 3.1.7

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{3}} d x$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10}{x} d x$

Paso 4

Divide $6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10$ por $x$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$6 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$10$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$6 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			+	$6 x^{3}$	+	$0$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{3} + 0$ .

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$

Paso 4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 17 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$0$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 17 x^{2} + 0$ .

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

Paso 4.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

Paso 4.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

Paso 4.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							+	$9 x$	+	$0$

Paso 4.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x + 0$ .

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$

Paso 4.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$10$

Paso 4.16

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 6 x^{2} - 17 x + 9 + \frac{10}{x} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 6

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 8

Dado que $- 17$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 17$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 \int x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

Paso 12

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 (\ln (| x |) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$2 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$