Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Paso 3

Mueve $x^{6}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Paso 5

Expande $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Paso 5.4

Resta $6$ de $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Paso 5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Paso 5.6

Resta $6$ de $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Paso 5.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Paso 5.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Paso 5.9

Reordena $5 x^{- 6}$ y $- 4 x^{- 3}$ .

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Paso 7

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Paso 9.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Paso 10

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $x^{- 5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Paso 12.2

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$