Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Paso 3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Paso 3.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$