Cálculo Ejemplos

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Paso 3

Sea $u_{2} = \cot (π x)$ . Entonces $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = \cot (π x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.1.2.2

La derivada de $\cot (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.1.3

Diferencia.

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Paso 3.1.3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.3.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Paso 3.1.3.3.2

Reordena los factores de $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Paso 4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $π$ de $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{π}$ y $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$