Cálculo Ejemplos

$x (x^{2} - 5)$

Paso 1

Escribe $x (x^{2} - 5)$ como una función.

$f (x) = x (x^{2} - 5)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x (x^{2} - 5) d x$

Paso 4

Sea $u = x^{2} - 5$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{2} - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 4.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $u$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int u d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} u^{2} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 5$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 5)}^{2} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x (x^{2} - 5)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(x^{2} - 5)}^{2} + C$