Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (\frac{x}{6})$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \cos (\frac{x}{6}) d x$

Paso 3

Sea $u = \frac{x}{6}$ . Entonces $d u = \frac{1}{6} d x$ , de modo que $6 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \frac{x}{6}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Paso 3.1.2

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$\int \cos (u) (1 \cdot 6) d u$

Paso 4.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\int \cos (u) \cdot 6 d u$

Paso 4.3

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos (u)$ .

$\int 6 \cos (u) d u$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \cos (u) d u$

Paso 6

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$6 (\sin (u) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$6 \sin (u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{6}$ .

$6 \sin (\frac{x}{6}) + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$6 \sin (\frac{1}{6} x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \cos (\frac{x}{6})$ .

$F (x) =$ $6 \sin (\frac{1}{6} x) + C$