Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Paso 3

Sea $u = 7 x^{2} + 2$ . Entonces $d u = 14 x d x$ , de modo que $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 7 x^{2} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$14 x + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $14 x$ y $0$ .

$14 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Paso 4

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{14}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{14}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Paso 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{1}{14}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $14$ por $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $42$ .

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Paso 8.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$