Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Paso 1

La función $G (t)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 4

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 5

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6

Expande $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.3

Multiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.8

Resta $1$ de $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.10

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.11

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Paso 6.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Paso 6.13

Simplifica el numerador.

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Paso 6.13.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Paso 6.13.2

Resta $1$ de $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 11

Simplifica.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$