Cálculo Ejemplos

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 3 - 5 x$ . Entonces $d u = - 5 d x$ , de modo que $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 - 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Paso 5.1.4

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Paso 6.3

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $5$ .

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Paso 10.1.2.1

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 10.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 10.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Reescribe $- 2 (- u^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Paso 12.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$