Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

Paso 8

Dado que $- 6 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6 y$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y \int x d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x - 6 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Combina $- 6$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y \frac{- 6 x^{2}}{2} + C$

Paso 10.3.2

Combina $y$ y $\frac{- 6 x^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 6 x^{2})}{2} + C$

Paso 10.3.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 10.3.3.1

Factoriza $2$ de $y (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2} + C$

Paso 10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Paso 10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Paso 10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 3 x^{2})}{1} + C$

Paso 10.3.3.2.4

Divide $y (- 3 x^{2})$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Paso 10.4

Reordena los términos.

$\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$