Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 24 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} - 24$ .

$6 x^{2} - 24$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} - 24 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} - 24 = 0$

Paso 2.2

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{2} = 24$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x^{2} = 24$ por $6$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x^{2} = 24$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{24}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $24$ por $6$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2, - 2$ .

$2, - 2$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} - 24$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 - 24$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$f' (- 3) = 54 - 24$

Paso 5.2.2

Resta $24$ de $54$ .

$f' (- 3) = 30$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $30$ .

$30$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $30$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} - 24$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 - 24$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 24$

Paso 6.2.2

Resta $24$ de $0$ .

$f' (0) = - 24$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $- 24$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 2)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 6 {(3)}^{2} - 24$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 6 \cdot 9 - 24$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$f' (3) = 54 - 24$

Paso 7.2.2

Resta $24$ de $54$ .

$f' (3) = 30$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $30$ .

$30$

Paso 7.3

En $x = 3$ la derivada es $30$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2, 2)$

Paso 9