Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 1.1.10

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 1.1.11

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 1.1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\sqrt{x^{2} + 8}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} + 8}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 + 8}$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$\sqrt{8}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Paso 4.1.2.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 4.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{2}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 2 \sqrt{2})$

Paso 5