Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$

Paso 4.4

Reordena los factores en $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{h x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5