Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{x + 9}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{5}{(x + h) + 9}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = \frac{5}{x + h + 9}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{5}{x + h + 9}$ .

$\frac{5}{x + h + 9}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{5}{x + h + 9}$

$f (x) = \frac{5}{x + 9}$

$f (x + h) = \frac{5}{x + h + 9}$

$f (x) = \frac{5}{x + 9}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{x + h + 9} - (\frac{5}{x + 9})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{5}{x + h + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{\frac{5}{x + h + 9} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} - \frac{5}{x + 9}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{5}{x + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h + 9}{x + h + 9}$ .

$\frac{\frac{5}{x + h + 9} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} - \frac{5}{x + 9} \cdot \frac{x + h + 9}{x + h + 9}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h + 9) (x + 9)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{5}{x + h + 9}$ por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{\frac{5 (x + 9)}{(x + h + 9) (x + 9)} - \frac{5}{x + 9} \cdot \frac{x + h + 9}{x + h + 9}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{5}{x + 9}$ por $\frac{x + h + 9}{x + h + 9}$ .

$\frac{\frac{5 (x + 9)}{(x + h + 9) (x + 9)} - \frac{5 (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(x + h + 9) (x + 9)$ .

$\frac{\frac{5 (x + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)} - \frac{5 (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 (x + 9) - 5 (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{5 (x + 9) - 5 (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $5$ de $5 (x + 9) - 5 (x + h + 9)$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 (x + h + 9)$ .

$\frac{\frac{5 (x + 9) + 5 (- (x + h + 9))}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $5$ de $5 (x + 9) + 5 (- (x + h + 9))$ .

$\frac{\frac{5 (x + 9 - (x + h + 9))}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{5 (x + 9 - x - h - 1 \cdot 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{\frac{5 (x + 9 - x - h - 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{5 (0 + 9 - h - 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{\frac{5 (9 - h - 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{\frac{5 (- h + 0)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 1 h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Combina exponentes.

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Paso 4.1.5.8.1

Factoriza el negativo.

$\frac{\frac{- (5 h)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 5 h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{5 h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{5 h}{(x + 9) (x + h + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5 h}{(x + 9) (x + h + 9)}$ al numerador.

$\frac{- 5 h}{(x + 9) (x + h + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Factoriza $h$ de $- 5 h$ .

$\frac{h \cdot - 5}{(x + 9) (x + h + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot - 5}{(x + 9) (x + h + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{(x + 9) (x + h + 9)}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{(x + 9) (x + h + 9)}$

Paso 5