Cálculo Ejemplos

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

Paso 2.1.2

La respuesta final es $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ .

$\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{H (x + h) - H x}{h} = \frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} - (\frac{5}{6 x^{5}})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{5}{6 x^{5}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}$ .

$\frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}} \cdot \frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6 {(x + h)}^{5} x^{5}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ por $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 {(x + h)}^{5} x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}} \cdot \frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{5}{6 x^{5}}$ por $\frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}$ .

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 {(x + h)}^{5} x^{5}} - \frac{5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $6 {(x + h)}^{5} x^{5}$ .

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}} - \frac{5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 x^{5} - 5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{5} - 5 {(x + h)}^{5}$ .

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Paso 4.1.5.1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5}) - 5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Factoriza $5$ de $- 5 {(x + h)}^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5}) + 5 (- {(x + h)}^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Factoriza $5$ de $5 (x^{5}) + 5 (- {(x + h)}^{5})$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - {(x + h)}^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Usa el teorema del binomio.

$\frac{\frac{5 (x^{5} - (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - (5 x^{4} h) - (10 x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Simplifica.

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Paso 4.1.5.4.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - (10 x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.4.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.4.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - 10 (x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.4.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - 10 (x^{2} h^{3}) - 5 (x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Resta $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (0 - 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Resta $5 x^{4} h$ de $0$ .

$\frac{\frac{5 (- 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Factoriza $h$ de $- 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5}$ .

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Paso 4.1.5.8.1

Factoriza $h$ de $- 5 x^{4} h$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.2

Factoriza $h$ de $- 10 x^{3} h^{2}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.3

Factoriza $h$ de $- 10 x^{2} h^{3}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.4

Factoriza $h$ de $- 5 x h^{4}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.5

Factoriza $h$ de $- h^{5}$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.6

Factoriza $h$ de $h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h)$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.7

Factoriza $h$ de $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2})$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.8

Factoriza $h$ de $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3})$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.1.5.8.9

Factoriza $h$ de $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3}) + h (- h^{4})$ .

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

$\frac{\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5} h}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5} h}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4}) - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- 10 x^{3} h$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4}) - (10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4}) - (10 x^{3} h)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.9

Factoriza $- 1$ de $- 10 x^{2} h^{2}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - (10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - (10 x^{2} h^{2})$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.11

Factoriza $- 1$ de $- 5 x h^{3}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - (5 x h^{3}) - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.12

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - (5 x h^{3})$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.13

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) - h^{4}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.14

Simplifica la expresión.

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Paso 4.14.1

Reescribe $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})$ como $- 1 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})$ .

$\frac{5 (- 1 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 4.14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

Paso 5