Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{1 - x - h}$ .

$\frac{1}{1 - x - h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

$f (x + h) = \frac{1}{1 - x - h}$

$f (x) = \frac{1}{1 - x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{1 - x - h} - (\frac{1}{1 - x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{1}{1 - x - h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{\frac{1}{1 - x - h} \cdot \frac{1 - x}{1 - x} - \frac{1}{1 - x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{1}{1 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x - h}{1 - x - h}$ .

$\frac{\frac{1}{1 - x - h} \cdot \frac{1 - x}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x - h}{1 - x - h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - x - h) (1 - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{1 - x - h}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x - h) (1 - x)} - \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{1 - x - h}{1 - x - h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{1 - x}$ por $\frac{1 - x - h}{1 - x - h}$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x - h) (1 - x)} - \frac{1 - x - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(1 - x - h) (1 - x)$ .

$\frac{\frac{1 - x}{(1 - x) (1 - x - h)} - \frac{1 - x - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 - x - (1 - x - h)}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{1 - x - (1 - x - h)}{(1 - x) (1 - x - h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{1 - x - 1 \cdot 1 - - x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica.

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Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 - - x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 4.1.5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + 1 x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x - - h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Multiplica $- - h$ .

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Paso 4.1.5.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x + 1 h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3.2

Multiplica $h$ por $1$ .

$\frac{\frac{1 - x - 1 + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{- x + 0 + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{\frac{- x + x + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Suma $0$ y $h$ .

$\frac{\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{h}{(1 - x) (1 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{(1 - x) (1 - x - h)}$

Paso 5