Cálculo Ejemplos

$C (q) = 0.1 q^{2} + 12 q + 400$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (q + h) - f q}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = q + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $q$ con $q + h$ en la expresión.

$C (q + h) = 0.1 {(q + h)}^{2} + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(q + h)}^{2}$ como $(q + h) (q + h)$ .

$C (q + h) = 0.1 ((q + h) (q + h)) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(q + h) (q + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$C (q + h) = 0.1 (q (q + h) + h (q + h)) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$C (q + h) = 0.1 (q \cdot q + q h + h (q + h)) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$C (q + h) = 0.1 (q \cdot q + q h + h q + h \cdot h) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $q$ por $q$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + q h + h q + h \cdot h) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + q h + h q + h^{2}) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $q h$ y $h q$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $q$ y $h$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + h q + h q + h^{2}) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h q$ y $h q$ .

$C (q + h) = 0.1 (q^{2} + 2 h q + h^{2}) + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$C (q + h) = 0.1 q^{2} + 0.1 (2 h q) + 0.1 h^{2} + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $0.1$ .

$C (q + h) = 0.1 q^{2} + 0.2 (h q) + 0.1 h^{2} + 12 (q + h) + 400$

Paso 2.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$C (q + h) = 0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 q + 12 h + 400$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 q + 12 h + 400$ .

$0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 q + 12 h + 400$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $12 q$ .

$0.1 q^{2} + 0.2 h q + 0.1 h^{2} + 12 h + 12 q + 400$

Paso 2.2.2

Mueve $0.1 q^{2}$ .

$0.2 h q + 0.1 h^{2} + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

Paso 2.2.3

Reordena $0.2 h q$ y $0.1 h^{2}$ .

$0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$C (q + h) = 0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

$C (q) = 0.1 q^{2} + 12 q + 400$

$C (q + h) = 0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400$

$C (q) = 0.1 q^{2} + 12 q + 400$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{C (q + h) - C q}{h} = \frac{0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza $0.1$ de $0.1 h^{2} + 0.2 h q + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)$ .

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Paso 4.1.1.1

Mueve $h$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.2 q h + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $0.1$ de $0.1 h^{2}$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.2 q h + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $0.1$ de $0.2 q h$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 q^{2} + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.4

Factoriza $0.1$ de $0.1 q^{2}$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 (q^{2}) + 12 h + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.5

Factoriza $0.1$ de $12 h$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 (q^{2}) + 0.1 (120 h) + 12 q + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.6

Factoriza $0.1$ de $12 q$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 (q^{2}) + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 400 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.7

Factoriza $0.1$ de $400$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 q^{2} + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 - (0.1 q^{2} + 12 q + 400)}{h}$

Paso 4.1.1.8

Factoriza $0.1$ de $- (0.1 q^{2} + 12 q + 400)$ .

$\frac{0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h) + 0.1 q^{2} + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.1.9

Factoriza $0.1$ de $0.1 h^{2} + 0.1 (2 q h)$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h) + 0.1 q^{2} + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.1.10

Factoriza $0.1$ de $0.1 (h^{2} + 2 q h) + 0.1 q^{2}$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2}) + 0.1 (120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.1.11

Factoriza $0.1$ de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2}) + 0.1 (120 h)$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h) + 0.1 (120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.1.12

Factoriza $0.1$ de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h) + 0.1 (120 q)$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q) + 0.1 \cdot 4000 + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.1.13

Factoriza $0.1$ de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q) + 0.1 \cdot 4000$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000) + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.1.14

Factoriza $0.1$ de $0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000) + 0.1 (- 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 10 (0.1 q^{2} + 12 q + 400))}{h}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 10 (0.1 q^{2}) - 10 (12 q) - 10 \cdot 400)}{h}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $0.1$ por $- 10$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 1 q^{2} - 10 (12 q) - 10 \cdot 400)}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $12$ por $- 10$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 1 q^{2} - 120 q - 10 \cdot 400)}{h}$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 10$ por $400$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - 1 q^{2} - 120 q - 4000)}{h}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 1 q^{2}$ como $- q^{2}$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + q^{2} + 120 h + 120 q + 4000 - q^{2} - 120 q - 4000)}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $q^{2}$ de $q^{2}$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 120 q + 4000 + 0 - 120 q - 4000)}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 120 q + 4000 - 120 q - 4000)}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $120 q$ de $120 q$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 0 + 4000 - 4000)}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 4000 - 4000)}{h}$

Paso 4.1.9

Resta $4000$ de $4000$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h + 0)}{h}$

Paso 4.1.10

Suma $h^{2} + 2 q h + 120 h$ y $0$ .

$\frac{0.1 (h^{2} + 2 q h + 120 h)}{h}$

Paso 4.1.11

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 q h + 120 h$ .

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Paso 4.1.11.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{0.1 (h \cdot h + 2 q h + 120 h)}{h}$

Paso 4.1.11.2

Factoriza $h$ de $2 q h$ .

$\frac{0.1 (h (h) + h (2 q) + 120 h)}{h}$

Paso 4.1.11.3

Factoriza $h$ de $120 h$ .

$\frac{0.1 (h (h) + h (2 q) + h \cdot 120)}{h}$

Paso 4.1.11.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 q)$ .

$\frac{0.1 (h (h + 2 q) + h \cdot 120)}{h}$

Paso 4.1.11.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 q) + h \cdot 120$ .

$\frac{0.1 (h (h + 2 q + 120))}{h}$

$\frac{0.1 h (h + 2 q + 120)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.1 h (h + 2 q + 120)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $0.1 (h + 2 q + 120)$ por $1$ .

$0.1 (h + 2 q + 120)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$0.1 h + 0.1 (2 q) + 0.1 \cdot 120$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $0.1$ .

$0.1 h + 0.2 q + 0.1 \cdot 120$

Paso 4.3.2

Multiplica $0.1$ por $120$ .

$0.1 h + 0.2 q + 12$

Paso 4.4

Reordena $0.1 h$ y $0.2 q$ .

$0.2 q + 0.1 h + 12$

Paso 5