Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{2} x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{3}{2} x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 h x) + \frac{3}{2} h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.5.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 h x) + \frac{3}{2} h^{2}$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{3}{2} h^{2}$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x + h) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{3}{2} h^{2}$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x + h) = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 (h x) + \frac{3}{2} h^{2}$

Paso 2.1.2.5.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 (h x) + \frac{3 h^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 h^{2}}{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $\frac{3 x^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 h^{2}}{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 h^{2}}{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$3 h x + \frac{3 h^{2}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $3 h x$ y $\frac{3 h^{2}}{2}$ .

$\frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x + \frac{3 x^{2}}{2} - (\frac{3 x^{2}}{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Resta $\frac{3 x^{2}}{2}$ de $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x + 0}{h}$

Paso 4.1.2

Suma $\frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x$ y $0$ .

$\frac{\frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x}{h}$

Paso 4.1.3

Factoriza $3 h$ de $\frac{3 h^{2}}{2} + 3 h x$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $3 h$ de $\frac{3 h^{2}}{2}$ .

$\frac{3 h \frac{h}{2} + 3 h x}{h}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $3 h$ de $3 h x$ .

$\frac{3 h \frac{h}{2} + 3 h x}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $3 h$ de $3 h \frac{h}{2} + 3 h x$ .

$\frac{3 h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Paso 4.1.4

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Paso 4.1.5

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Paso 4.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Paso 4.1.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Paso 4.1.8

Combina exponentes.

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Paso 4.1.8.1

Combina $3$ y $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{h \frac{3 (h + 2 x)}{2}}{h}$

Paso 4.1.8.2

Combina $h$ y $\frac{3 (h + 2 x)}{2}$ .

$\frac{\frac{h (3 (h + 2 x))}{2}}{h}$

Paso 4.1.9

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{\frac{h \cdot 3 (h + 2 x)}{2}}{h}$

Paso 4.1.10

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{3 h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $3 h (h + 2 x)$ .

$\frac{h (3 (h + 2 x))}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{h (3 (h + 2 x))}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (h + 2 x)}{2}$

Paso 5