Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ como $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ .

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

Paso 2.1.2.2

Expande $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.3.2.1

Mueve $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.10

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.3.10.1

Mueve $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.10.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

Paso 2.1.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Paso 2.1.2.4

Suma $4 x h$ y $4 h x$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Mueve $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Paso 2.1.2.4.2

Suma $4 h x$ y $4 h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

Paso 2.1.2.5

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

Paso 2.1.2.6

Resta $2 h$ de $- 2 h$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Paso 2.1.2.7

La respuesta final es $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Paso 2.2.2

Reordena $8 h x$ y $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $4 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $4 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

Paso 4.1.7

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ y $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $4 h$ de $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $4 h$ de $4 h^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $4 h$ de $8 h x$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $4 h$ de $- 4 h$ .

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $4 h$ de $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ .

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $4 h$ de $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ .

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $4 (h + 2 x - 1)$ por $1$ .

$4 (h + 2 x - 1)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

Paso 4.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 h + 8 x - 4$

Paso 4.4

Reordena $4 h$ y $8 x$ .

$8 x + 4 h - 4$

Paso 5