Cálculo Ejemplos

$\cos (x y) = x - y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

Paso 5.2

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

Paso 5.3

Suma $y \sin (x y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (x y) + y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Paso 5.4.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) + 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) + 1$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $- x \sin (x y) + 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Paso 5.5.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

Paso 5.5.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

Paso 5.5.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.5.3.5.1

Reescribe $- (x \sin (x y) - 1)$ como $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

Paso 5.5.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$