Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 2 x$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 2 x + 2 h$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 x + 2 h$

Paso 2.2.3

Mueve $2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.4

Mueve $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.5

Mueve $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

Paso 2.2.6

Reordena $3 h^{2} x$ y $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{3} + 2 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{3} + 2 x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - (x^{3} + 2 x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - x^{3} - (2 x)}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 2 h + 2 x - x^{3} - 2 x}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $h^{3}$ y $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ y $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $h$ de $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 2 h}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza $h$ de $2 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.6

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2}{h}$

Paso 4.1.7.7

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$ por $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 2$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2$

Paso 4.2.2.2

Mueve $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2$

Paso 4.2.2.3

Reordena $3 x h$ y $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2$

Paso 5