Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $- x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $- 2 h x$ y $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = - x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - (- x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 1 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Reescribe $h^{2} + 2 h x + x^{2}$ como ${(h + x)}^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 h x = 2 \cdot h \cdot x$

Paso 4.1.3.2

Reescribe el polinomio.

$\frac{- (h^{2} + 2 \cdot h \cdot x + x^{2}) + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = h$ y $b = x$ .

$\frac{- {(h + x)}^{2} + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Reordena $- {(h + x)}^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - {(h + x)}^{2}}{h}$

Paso 4.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = h + x$ .

$\frac{(x + h + x) (x - (h + x))}{h}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(2 x + h) (x - (h + x))}{h}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + h) (x - h - x)}{h}$

Paso 4.1.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + h) (- h + 0)}{h}$

Paso 4.1.6.4

Suma $- h$ y $0$ .

$\frac{(2 x + h) \cdot - 1 h}{h}$

Paso 4.1.6.5

Factoriza el negativo.

$\frac{- ((2 x + h) h)}{h}$

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- (2 x + h) h}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- (2 x + h)$ por $1$ .

$- (2 x + h)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 x) - h$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x - h$

Paso 5